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Accueil > Recherche > Équipe Physique théorique & Astrophysique > Systèmes dynamiques > Analyse spectrale et numérique en dynamiques quantiques

Théorie de Floquet, limites adiabatiques et intégrateurs globaux

La dynamique quantique de systèmes de taille importante (molécule, chaînes de spins, etc) est un problème majeur du point vue tant mathématique que numérique, du fait que ces systèmes sont modélisés par des espaces de Hilbert de dimension infinie ou du moins de très grande dimension. D’autre part, les systèmes dépendants explicitement du temps (interaction d’une molécule ou d’un atome avec un champ électromagnétique modulé) présentent souvent des oscillations rapides. Ces deux problèmes rendent le problème de l’intégration numérique des équations de Schrödinger associées particulièrement difficile.

Nous nous intéressons donc au développement de méthodes mathématiques et numériques de représentations L2-finies de la dynamique quantique (c’est à dire sur des bases de petites de dimension) et de construction d’Hamiltoniens effectifs, c’est à dire d’Hamiltoniens permettant de calculer les phénomènes dynamiques qui nous intéressent, mais plus simples à manipuler que les Hamiltoniens réels des systèmes. Dans cette optique, nous développons plusieurs approches :
Approximations adiabatiques : Le principe de l’approximation adiabatique consiste à supposer que si les variations des paramètres dépendant du temps sont lents, le système passe par une succession d’équilibres instantanés. Autrement dit, il peut être représenté à l’aide de superpositions de successions d’états propres instantanés. Si à l’instant initial, il faut un petit nombre d’états propres pour décomposer la condition initiale, alors (sauf défaut d’adiabaticité) il en sera de même à tout instant. On obtient donc une représentation L2-finie aux prix de l’intervention d’une base mobile (la base de vecteurs propres instantanées dépend du temps). Dans ce contexte nous étudions des mesures de non-adiabaticités et de corrections algorithmiques à celles-ci, et l’application de ces approches à des systèmes dissipatifs (Hamiltoniens non-autoadjoints) et à des systèmes bipartites intriqués ou ouverts (décrits par des matrices densités). Nous travaillons à la fois sur l’efficacité algorithmique de ces approches et sur la démonstration de théorèmes adiabatiques supportant celles-ci.

Opérateurs d’onde et espaces actifs : Une approche consiste à trouver un petit sous-espace de Hilbert fixe (petit dans le sens de faible dimension), dans lequel on suppose que l’essentiel de la dynamique se déroule. Un tel espace est dit espace actif et l’idée est d’étudier la dynamique uniquement dans celui-ci. Néanmoins, il ne s’agit pas de projeter brutalement l’Hamiltonien dans cet espace actif, l’approximation serait trop grossière. Il faut trouver un Hamiltonien effectif non-autoadjoint, qui représente la dynamique interne à l’espace actif mais aussi les processus de sortie de cet espace (d’où l’aspect dissipatif, la perte de flux quantique correspondant à ce qui s’échappe de l’espace actif). Connaissant la dynamique effective, il est alors même possible de reconstruire (au moins en partie) la dynamique externe à l’espace actif à l’aide d’un opérateur appelé opérateur d’onde temporel. On obtient l’Hamiltonien effectif et l’opérateur d’onde en intégrant une équation de Schrödinger non-linéaire. Nous développons des méthodes numériques pour sélectionner les bons espaces actifs, et intégrer les équations fournissant opérateurs d’onde temporels et Hamiltoniens effectifs.

Théorie de Floquet : Pour éliminer le problème des oscillations rapides d’un champ électromagnétique interagissant sur un système quantique, il est possible d’utiliser l’approche de la théorie de Floquet (t,t’). Dans celle-ci on découple les paramètres évoluant lentement en leur attribuant un premier temps t, et les paramètres oscillants rapidement en leur attribuant une seconde variable de temps t’. Du fait de la périodicité en t’, on peut la promouvoir au status de variable quantique, c’est à dire que l’on considère un espace de Hilbert étendu comme le produit tensoriel de l’espace du système avec l’espace des fonctions L2 sur le cercle de phase des oscillations. Le système est alors décrit par un Hamiltonien de Floquet qui engendre une équation de Schrödinger où la dépendance en t’ n’est plus dynamique mais statique (on remplace l’intégration en t’ par le calcul des vecteurs propres de Floquet). Les valeurs propres de l’Hamiltonien de Floquet sont dites quasi-énergies et contrairement aux valeurs propres de l’Hamiltonien semi-classique sont invariantes de jauge électromagnétique. La théorie de Floquet permet donc de fournir des intégrateurs globaux (où l’intégration pas à pas est remplacée par la résolution d’une équations aux valeurs propres). D’autre part, les quasi-énergies ont des comportements géométriques intéressant quand on considère un Hamiltonien de Floquet dépendant de paramètres. Ainsi il se produit un phénomène d’échange topologique entre quasi-énergies sous l’influence de la variation continue de certains paramètres cycliques (phénomène appelé anholonomie de Cheon).

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Géométrie des quasi-énergies d’un spin frappé par des impulsions ultra brèves. Les deux cycles fondamentaux du tore représentent respectivement l’intensité des frappes et l’intervalle des quasi-énergies. L’échange des quasi-énergies après un tour (le cycle noir dessiné sur le tore) caractérise le phénomène d’anholonomie de Cheon.

La méthode des trajectoires adiabatiques contraintes (CATM) : L’utilisation d’intégrateurs globaux par la théorie de Floquet présente un défaut. Les conditions aux limites des états de quasi-énergie sont imposées par l’équation aux valeurs propres et ne coïncident en général pas avec les conditions initiales de la dynamique quantique. Résultat, il est nécessaire de superposer un grand nombre d’états de quasi-énergie pour reproduire les bonnes conditions initiales. On souhaiterait donc plutôt se trouver dans une situation adiabatique où quelques états de quasi-énergie sont nécessaires. Mais du fait de la périodicité des états de quasi-énergie, les conditions finales sont les mêmes que les conditions initiales. Pour concilier les conditions initiales de la dynamique, la périodicité et l’adiabaticité, nous utilisons une méthode permettant de forcer ces trois conditions en prolongeant artificiellement le temps et en ajoutant des potentiels absorbants sur la durée supplémentaire. Ces potentiels ont pour but d’absorber le flux quantique sur les canaux ne correspondant pas aux conditions initiales. De ce fait ils forcent les états de quasi-énergie à présenter ces conditions, forcent la périodicité de la dynamique et forcent celle-ci à être adiabatique au sens où seuls quelques états de quasi-énergie sont nécessaires. On retrouve le bon résultat de la dynamique en regardant la fonction d’onde avant la durée artificielle sur laquelle les potentiels absorbants se trouvent. Nous développons des algorithmes pour utiliser cette méthode dans l’intégration des équations de Schrödinger.

Nous travaillons sur l’ensemble de ces méthodes, mais aussi sur leurs utilisations conjointes en étudiant la compatibilité entre elles et en développement des algorithmes utilisant les meilleurs aspects de chacune.

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Trajectoire au cours du temps (l’ellipse) dans le plan complexe de la phase dynamique de la fonction d’onde effective comparée à différents points (les sommets de l’étoile) de la trajectoire de la différence entre la phase totale de la fonction d’onde vraie et la phase de Berry de la fonction d’onde effective, pour le cas de la molécule H2+ en interaction avec un champ laser, décrite dans un espace actif engendré par un seul état propre de Floquet et dans le modèle du potentiel optique. La cyclicité de cette phase est un marqueur de l’adiabaticité de la dynamique.

Nous appliquons ces méthodes mathématiques et numériques aux équations de Schrödinger de la photodissociation de molécules diatomique et au contrôle de chaînes de spins par des champs magnétiques.


Contacts : David Viennot