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Accueil > Recherche > Équipe Physique théorique & Astrophysique > Systèmes dynamiques > Analyse spectrale et numérique en dynamiques quantiques

Propriétés spectrales des structures quasi-périodiques et pavages de Penrose

Considérons un Hamiltonien pour une particule en mécanique quantique non relativiste. Généralement, cet Hamiltionien est constitué d’un terme d’énergie cinétique auquel s’ajoute un terme d’interaction. L’interaction peut dépendre de plusieurs paramètres. L’intérêt du physicien se porte sur la détermination du spectre de l’Hamiltonien : nombre de niveaux d’énergie, degré de dégénérescence de chaque niveau (c.à.d. nombre maximum d’états linéairement indépendants d’énergie donnée), sections efficaces de collisions,...

En général, la réponse à ces questions est difficile. Un modèle a été développé pour lequel ces questions peuvent être résolues. La caractéristique principale du modèle est que l’interaction est la somme d’interactions séparables (projecteurs), chacune centrée en un point donné ou centre. La partie mathématique du problème est alors grandement simplifiée. Parmi les nombreux résultats obtenus, focalisons nous sur le coefficient de transmission pour un problème uni-dimensionnel. Un résultat général de physique nous dit que lorsque les centres forment une structure périodique tronquée, la transmission est généralement favorisée pour certaines énergies. Au contraire, quand les centres sont distribués au hasard, la transmission est généralement faible à toute les énergies. Qu’en est il pour des structures quasi périodiques, qui ne sont pas périodique mais obéissent à des règles de construction bien précises ? Supposons que la structure est faite d’une alternance d’un intervalle court et d’un intervalle long entre les centres, dans un ordre quasi périodique. Alors, il a été montré qu’à très basse énergie, une structure quasi périodique tronquée devient complètement transparente si la succession d’intervalles forme un palindrome, c.à.d. est la même quand lue de gauche à droite ou de droite à gauche.

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Les chaînes de Fibonacci peuvent décrire des structures quantiques quasi périodiques, mais elles décrivent aussi la spirale des nautiles.

Par ailleurs, même dans le cadre a priori simple du modèle de particules indépendantes, des caractéristiques telles que la densité d’états électronique, (dont la connaissance est importante pour les propriétés dynamiques), l’évolution de paquets d’onde, sont très sensibles à la géométrie du système étudié (structure cristalline, structure quasicristalline, structure désordonnée, position initiale du paquet d’onde). La création d’un modèle soluble dans l’espace à trois dimensions, son développement et son application contribuent à mieux connaître ces caractéristiques sans faire d’hypothèses telles que le couplage uniquement entre plus proches voisins. L’esprit général de cette approche est une résolution analytique aussi poussée que possible. Récemment l’analogue du modèle à trois dimensions a pu être résolu en deux dimensions, ce qui mathématiquement n’est pas évident. La figure représente une fonction d’onde d’états électroniques stationnaires sur une portion de pavage de Penrose.

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Fonctions d’onde d’états électroniques stationnaires sur une portion de pavage de Penrose

Contacts : Eugène de Prunelé