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Accueil > Recherche > Équipe Physique théorique & Astrophysique > Systèmes quantiques ouverts > Intrication et protocoles d’information quantique

Ordinateurs quantiques, protocoles et algorithmes de calculs quantiques

L’étude du concept d’ordinateurs quantiques par la manipulation de qubits, la réalisation de portes logiques ou d’algorithmes purement quantiques, est l’un des défis majeurs de la physique du XXIème siècle.

Approches géométriques de la manipulation de qubits

Nous développons une nouvelle méthode pour étudier le contrôle des systèmes quantiques comme les qubits soumis à un processus de décohérence. Cette nouvelle méthode repose sur une approche géométrique, dite théorie des phases géométriques, qui fournit des outils (souvent visuels) pour étudier la façon de contrôler les atomes et les molécules. Cette approche fonctionne bien pour des systèmes idéalisés où la décohérence n’intervient pas, le problème était de la généraliser de façon pertinente au systèmes réalistes qui y sont soumis. Suite à une réflexion épistémologique sur la nature physique du phénomène de décohérence, il est apparu que celui-ci pouvait être envisagé comme semblable au phénomène de dissipation (les systèmes dissipatifs se caractérisent par une perte de leur « substance » au cours du temps). Suite à cela, il a fallu trouver un formalisme mathématique permettant de lier les deux phénomènes en un unique modèle physique. Ce fut fait à l’aide d’une structure mathématique appelée C*-module. La théorie des phases géométriques pour les systèmes dissipatifs étant connue, ce formalisme mathématique a permis d’établir la généralisation de l’approche géométrique aux systèmes soumis à la décohérence.

Il en résulte une géométrie quelque peu ésotérique connue sous le nom de géométrie de catégories. On pourrait envisager celle-ci par l’allégorie suivante. Assimilons la géométrie à la description d’un paysage. Résoudre un problème de contrôle consiste alors à trouver son chemin dans celui-ci. Pour décrire un paysage, on décrit les différents lieux qui le constitue.

Dans le cas normal (correspondant à une absence de décohérence), on peut « assembler » de façon cohérente les descriptions des différents lieux pour former « une image globale » du paysage. Mais dans le cas d’une géométrie de catégories (avec de la décohérence), les différentes descriptions des lieux ne forment pas une image globale cohérente. On pourrait comparer cela aux tableaux de l’artiste néerlandais M.C. Escher (Belvedere 1958, Ascending and descending 1960, Waterfall 1961). Si on se concentre sur une petite zone du tableau, la représentation du lieu ne pose pas de problème. Mais si maintenant on regarde le tableau dans sa globalité, on se rend compte que le paysage représenté est manifestement incohérent (l’échelle, la boucle d’escaliers, la rivière refermée sur elle-même).

D’un point de vue formel, le formalisme que nous avons introduit consiste à remplacer les valeurs propres usuelles de la mécanique quantique par des "valeurs propres non-commutatives", c’est à dire des opérateurs du système qui jouent le rôle de valeurs propres pour l’univers (l’environnement+le système). L’étude des équations aux valeurs propres non-commutatives est au cœur de notre formalisme fondé sur les C*-modules.

Ordinateur quantique à base de spins nucléaires inclus dans une matrice de points quantiques & réalisation de portes logiques sur des chaînes de spins

L’ordinateur quantique surpasse son alter ego classique en utilisant les propriétés quantiques de ses constituants fondamentaux : les qubits. Un grand nombre de propositions expérimentales permettent de penser qu’un tel ordinateur permettra d’accroître considérablement la puissance de calcul par rapport à nos machines actuelles et de communiquer sans risque sur de longues distances grâce à la cryptographie quantique.

Les spins nucléaires ont naturellement été considérés comme de sérieux candidats pour construire le futur ordinateur quantique. Le moment magnétique d’un noyau de spin-1/2 possède intrinsèquement la structure simple à deux niveaux d’un qubit.
De surcroît, ce moment magnétique n’est pas couplé directement aux champs électriques locaux, faisant de lui un objet extrêmement bien isolé de son environnement.

Entropie / ordinateur quantique

Ainsi, utilisant la technologie ultradéveloppée de la résonance magnétique nucléaire (RMN), le calcul quantique à température ambiante, à base de RMN utilisant des molécules en solution (RMN liquide), est à la pointe des progrès expérimentaux dans ce domaine. En RMN liquide, chaque molécule du soluté possède plusieurs noyaux, et chacun de ces noyaux possède, en présence d’un champs magnétique, une fréquence de Larmor déterminée. Ceci permet de sélectionner individuellement un noyau en appliquant un champ radiofréquence en résonance avec la fréquence de Larmor du noyau. Il est ainsi possible de faire une rotation du spin d’un noyau en utilisant des pulses radiofréquences adéquats. Le problème posé par la RMN liquide est qu’il est difficile de réaliser un ordinateur à grande échelle (milliers de qubits) en utilisant des molécules en solution.

Une alternative est proposée par la RMN solide, plus particulièrement la RMN utilisant les spins nucléaires à l’intérieur d’un solide cristallin. Expérimentalement, il est possible de réaliser des réseaux bidimensionnel de noyaux de spin-1/2 29Si ou $31P à l’intérieur d’une matrice semiconductrice (par exemple de GaAs). Ces spins nucléaires sont alors couplés via une interaction dipolaire. Un gradient de champ magnétique permet d’assigner une fréquence de Larmor différente à chaque spin nucléaire et ainsi de les manipuler individuellement. Nous avons étudié d’un point de vue théorique les conditions dans lesquelles un tel dispositif expérimental peut-être utilisé pour le traitement de l’information quantique. Notamment, nous montrons que le rapport entre, l’écart de deux fréquences de Larmor de deux spins adjacents, et, l’interaction dipolaire de ces deux spins, doit croître de façon linéaire avec le nombre de qubits pour que ce dispositif expérimental puisse performer des opérations quantiques de façon cohérente. Egalement, la dynamique de ces systèmes composés d’un grand nombre de spins nucléaires sont rapidement sujets au chaos quantique. Nous avons donc étudié l’apparition du chaos quantique dans ce système particulier et nous avons indiqué dans quelles conditions l’opérabilité de ce système est détruite.

Par ailleurs nous étudions la possibilité de réaliser des portes logiques à l’aide de frappes magnétiques ultra-courtes sur des chaînes de spins considérées comme des registres de qubits.

Qubits supraconducteurs et boîtes quantiques

Nous avons conduit une analyse sur la dynamique de l’intrication quantique dans des systèmes réalisés en laboratoire et candidats prometteurs pour implémenter des protocoles d’informations quantiques. Parmi ceux-ci, on a considéré des qubits à l’état solide comme des qubits supraconducteurs et des boites quantiques. Nous avons étudié la dégradation de l’intrication entre deux qubits Josephson de charge non-interagissant et sujets à des bains indépendants avec des spectres à bande large typiques des nano dispositifs à l’état solide ; une étude similaire a été réalisée dans le cas des couples de boites quantiques dans des microcavités. Dans le cas des qubits Josephson, il a été possible d’analyser soit l’effet d’un bruit à basse fréquence, traitable adiabatiquement avec un comportement typique 1/f, soit l’effet d’un bruit à haute fréquence, traitable quantiquement au sein d’une théorie markovienne. On a obtenu la contribution quantitative des différents bruits dans les temps de vie moyen de l’intrication, en considérant des valeurs de paramètres typiquement présents dans les expériences.

Marches quantiques excitoniques et Algorithmes de recherche sur réseaux

Les bases de l’informatique quantique furent définies au début des années 80 grâce à la réflexion de chercheurs comme Richard Feynman et David Deutsch. Cependant, il fallut attendre le milieu des années 90 pour réellement apprécier la puissance potentielle de cette nouvelle technologie à travers l’élaboration des premiers algorithmes quantiques. L’un des exemple les plus célèbres est probablement celui de l’algorithme de Peter Shor pour la factorisation d’un grand nombre entier. Ainsi, alors que l’on estime à de nombreux milliards de milliards d’années le temps nécessaire pour factoriser un nombre à mille chiffres à l’aide des ordinateurs actuels, cette opération ne demanderait qu’une vingtaine de minutes à un ordinateur quantique.

Tout aussi célèbre pour sa supériorité par rapport aux calculs classiques, l’algorithme de Lov Grover permet de rechercher un (ou plusieurs) élément répondant à un critère donné parmi N éléments non classés d’une liste désordonnée. De manière générale, un algorithme classique de recherche consiste à faire défiler les éléments de la liste et à réaliser un test jusqu’à obtenir l’élément désiré. Au mieux, la cible est obtenue tout de suite, au pire, elle est atteinte avec le dernier test. En moyenne, le temps de la recherche est donc proportionnel à N. A l’inverse, avec l’algorithme de Grover, le temps de la recherche est proportionnel à N1/2 et l’espace de stockage nécessaire est proportionnel à log(N). L’accélération de la recherche quantique fait la force de l’algorithme de Grover qui provient essentiellement du concept de parallélisme quantique qui repose sur le principe de superposition.

Dans ce contexte, sous l’impulsion des travaux de Farhi et Gutmann, le concept de marches quantiques fut introduit récemment par Childs et Goldstone pour implémenter un algorithme de recherche de type Grover sur un réseau complexe. L’idée principale est la suivante : on considère une marche en temps continu sur un graphe dont la dynamique est gouvernée par un Hamiltonien standard. Les éléments de la liste sont donc les noeuds du réseau et l’élément cible est un défaut "énergétique" sur un noeud particulier. Le problème que l’on se pose est alors de trouver la position de cette cible ?

Pour réaliser cette recherche, on suppose que à t=0 le réseau se trouve dans un état initial qui correspond à une superposition uniformément distribuée sur l’ensemble des sites. En jouant sur les paramètres dynamiques du modèle, on cherche un instant t>0 tel que l’état devienne quasiment localisé sur le défaut. Si on arrive à cela, une opération de mesure finale trouvera le système dans cet état, révélant ainsi la position du défaut, c’est-à-dire celle de l’élément cible de la liste. Dans ce contexte, il s’avère que l’accélération de la recherche (le fameux N1/2 speedup) est obtenue uniquement sur un réseau cubique de dimension d>4. Ce type d’algorithme fut alors généralisé par Mulken et ses collègues pour réaliser une recherche sur des réseaux complexes fractales : le triangle dual de Sierpinski (DSG), le fractal T (TF) et l’arbre de Cayley (CT). A priori, pour les structures étudiées, il semble difficile de résoudre le problème de recherche efficacement quelle que soit la région de l’espace des paramètres dans laquelle on se trouve. A ce stade, on notera que d’autres approches similaires furent introduites pour résoudre le problème de recherche, comme l’utilisation des marches quantiques discrètes ou celle des marches non-linéaires.

Dans ces conditions, en suivant l’idée originale de Thilagam, nous avons introduit une nouvelle méthode de recherche quantique basée sur l’utilisation de la propagation d’un exciton de Frenkel sur un réseau complexe. Nous avons alors établi un algorithme de recherche quantique rapide et efficace en utilisant la capacité d’un exciton à se propager le long d’un graphe en étoile qui présente deux défauts énergiques identiques. Le premier défaut se trouve sur le site d’entrée dont la position est parfaitement bien défini et où l’exciton est initialement créé. Le deuxième défaut occupe un emplacement cible dont la position inconnue doit être déterminée.

Nous avons alors montré que lorsque les défauts sont judicieusement choisies, des interférences quantiques spécifiques apparaissent si bien que la probabilité d’observer l’exciton sur le site cible devient proche de l’unité pour un temps très court t. Par conséquent, une mesure de l’état quantique de l’exciton au temps t va révéler l’identité de la position du site cible. Le point clé est que le temps t est indépendant de la taille du graphe. Il est de plus le temps la plus court physiquement accessible à l’exciton pour transiter par effet tunnel.


Contacts : Bruno Bellomo ; José Lages ; Vincent Pouthier ; David Viennot