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Monodromie Hamiltonienne et ses généralisations

par Edith Burgey -

Dominique Sugny

Institut Carnot de Bourgogne (Dijon)

Mardi 29 avril 2008

Résumé : La monodromie Hamiltonienne est l’obstruction topologique la plus simple à l’existence de coordonnées action-angles globales d’un système Hamiltonien intégrable. En utilisant les outils de la mécanique semi-classique, on peut montrer que la monodromie a une influence sur la structure globale du spectre de l’Hamiltonien quantique associé. De nombreux
systèmes classiques et quantiques avec une monodromie non-triviale ont
été découverts. Les exemples les plus simples sont le pendule sphérique
ou des systèmes moléculaires comme la molécule d’eau.
Dans cet exposé, après une présentation de la monodromie standard,
nous nous intéresserons plus particulièrement à des généralisations de cette
notion comme la monodromie fractionnaire et la bidromie. Nous montrerons comment définir la monodromie fractionnaire à la fois d’un point
de vue classique et quantique. Nous détaillerons également une méthode
d’analyse complexe qui permet de reformuler les problèmes de monodromie
Hamiltonienne en terme de monodromie de Gauss-Manin et qui s’avère
particulièrement utile dans le cadre de la monodromie fractionnaire. La
bidromie sera finalement présentée d’un point de vue numérique.