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Accueil > Recherche > Équipe Physique théorique & Astrophysique > Systèmes dynamiques > Phases géométriques et géométrie en dynamiques quantiques et relativistes

Espaces fibrés et théories de jauge en relativité générale et en mécanique quantique

Dynamique quantique composite

Les phases géométriques sont une méthodologie permettant de modéliser les systèmes quantiques pilotés par des paramètres extérieurs classiques, dits paramètres de contrôle. Par exemple, pour un atome ou une molécule piloté par un champ laser intense, ces paramètres seraient l’intensité, la fréquence, la direction de polarisation... Cette modélisation consiste alors "au transport" d’une particule virtuelle sur un objet géométrique construit "au dessus" de l’espace engendré par les paramètres de contrôle. L’objet géométrique en question est appelé espace fibré.

Mais lorsque qu’il existe en surplus de l’évolution induite par les paramètres de contrôle, une évolution incontrôlable d’autres paramètres, il est nécessaire de considérer des ’fibrés composites". Il s’agit d’un fibré construit au dessus d’un premier fibré. Le premier étage correspond alors à la réponse d’un jeu de paramètres à l’évolution des autres. Le second étage est associé à la réponse du système quantique à l’évolution globale décrite par le premier étage.

Cette situation est très courante, car sauf systèmes particuliers où un seul état propre intervient dans la dynamique, tout système quantique présente une évolution géométriquement incontrôlable induite par une phase dynamique "qui ne commute pas" avec la phase géométrique. On peut également envisager des situations où le système est soumis à des variations aléatoires de son environnement (type processus stochastiques classiques).

La géométrie composite (à plusieurs étages) n’est très pratique à manipuler. On souhaiterait pouvoir la "déconstruire" pour la "réarranger" en une géométrie au dessus d’un espace engendré à la fois par les paramètres de contrôle et les paramètres incontrôlables. Malheureusement, il n’est pas toujours possible de construire ainsi un fibré. En particulier si le premier étage du composite s’avère être un objet géométrique non-trivial à l’image du ruban de Möbius.

Un ruban de Möbius est dit non-trivial par rapport au cylindre avec qui il partage le même espace de base (un cercle) et les mêmes fibres (des segments), du fait de sa "torsion".

Les objets obtenus par déconstruction et réarrangement forment des généralisations de la notion d’espace fibré, appelées fibrés tordus.

Géométries catégoriques et décohérences quantiques

Les phases géométriques sont une méthodologie permettant de modéliser les systèmes quantiques pilotés par des paramètres extérieurs classiques. Par exemple, pour un atome ou une molécule piloté par un champ laser intense, ces paramètres seraient l’intensité, la fréquence, la direction de polarisation... Cette modélisation consiste alors "au transport" d’une particule virtuelle sur un objet géométrique construit "au dessus" de l’espace engendré par les paramètres. L’objet géométrique en question est appelé espace fibré.

Assimilons la géométrie de cet espace fibré à la description d’un paysage. Le transport de la particule virtuelle est alors un chemin dans celui-ci. Pour décrire un paysage, on décrit les différents lieux qui le constitue. En général, on peut « assembler » de façon cohérente les descriptions des différents lieux pour former « une image globale » du paysage.

Mais dans le cas des systèmes quantiques ouverts (systèmes qui sont fortement influencés par leur environnement) les différentes descriptions des lieux ne forment pas une image globale cohérente. Il en résulte une géométrie quelque peu ésotérique connue sous le nom de géométrie de catégories. On pourrait comparer cela aux tableaux de l’artiste néerlandais M.C. Escher (Belvedere 1958, Ascending and descending 1960, Waterfall 1961). Si on se concentre sur une petite zone du tableau, la représentation du lieu ne pose pas de problème. Mais si maintenant on regarde le tableau dans sa globalité, on se rend compte que le paysage représenté est manifestement incohérent (l’échelle, la boucle d’escaliers, la rivière refermée sur elle-même).

Nous étudions cette géométrie de catégories (gerbes, 2-fibrés) pour différents systèmes quantiques ouverts : molécule en contact avec un "bain chaotique d’impulsions lasers ultra-brèves", systèmes dissipatifs (qui perdent une partie de leur fonction d’onde dans l’environnement), et systèmes soumis à un phénomène d’intrication avec son environnement.

Théorie de jauge de la gravité et transport de spineurs dans un espace-temps courbe

Il existe dans la nature 4 interactions fondamentales : l’électromagnétisme, la force nucléaire faible (responsable de la radioactivité \beta), la force nucléaire forte (responsable de la stabilité des noyaux atomiques et de l’énergie nucléaire), toutes trois décrites par la mécanique quantique ; et la gravitation décrite par la théorie de la relativité générale.

Du point de vue géométrique, nous sommes confronté à deux descriptions bien différentes. Électromagnétisme et interactions nucléaires sont décrites par une théorie de jauge. Dans celle-ci, la structure fondamentale est un espace fibré construit au dessus de l’espace-temps avec pour fibre type, le groupe de symétrie de l’interaction. Le champ d’interaction est alors décrit par la connexion du fibré (la règle de passage de fibre en fibre).

La gravité est décrite par un espace-temps courbe. Ce que l’on prend pour un champ de gravitation est en fait la manifestation de la courbure de l’espace-temps.

Afin de réconcilier les deux points de vue, on peut essayer de donner une description de la gravité comme une théorie de jauge. On construit alors un fibré sur l’espace-temps avec pour fibre type le groupe de Lorentz (le groupe des symétries de changement de référentiels relativistes). Malheureusement, seule une partie de la gravitation peut être ainsi modélisée. Il reste des entités, appelées tétrades, qui ne peuvent pas être intégrées à la description. Pour résoudre ce problème, nous avons proposé d’utiliser un fibré composite. Celui-ci est obtenu en recomposant les "morceaux" du fibré de Lorentz avec des "morceaux" d’un fibré construit sur un espace-temps plat effectif. Les tétrades formant la connexion de ce dernier.

Cette construction permet en particulier d’étudier le transport d’une particule dans un espace-temps courbe de façon similaire à un problème de phase géométrique en mécanique quantique.

En relativité générale, la gravité — qui y est décrite comme la géométrie courbe de l’espace-temps — n’est pas seulement responsable de mouvements d’attraction/orbitation entre deux corps massifs (et des effets associés : effets de marée, dilatation du temps,...), mais aussi d’un mouvement de précession des moments cinétiques (effet qui n’existe pas en gravitation Newtonienne). Cet effet connu comme l’effet Einstein-de Sitter est similaire à la précession de Thomas (précession relativiste pour un corps en accélération). Le spin d’une particule étant un moment un cinétique, on s’attend à observer un tel effet sur celui-ci. Nous nous intéressons à la description géométrique de cette précession pour un spineur de Dirac (champ décrivant une particule de spin 1/2) dont la fonction d’onde est localisée (i.e. longueur d’onde supposée très faible devant le rayon de courbure de l’espace-temps), permettant de décrire le transport du spineur (vu comme un qubit) le long d’une ligne d’Univers. Nous étudions en particulier ce problème, sous l’angle de la dynamique quantique du spin.


Contacts : David Viennot