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Accueil > Recherche > Équipe Physique théorique & Astrophysique > Systèmes dynamiques > Analyse spectrale et numérique en dynamiques quantiques

Calculs d’états propres : méthodes analytiques et numériques

En physique quantique, l’une des informations fondamentales sur un système (qu’il soit une particule, un atome ou une molécule) est l’ensemble des états propres de son opérateur Hamiltonien. Ces états propres sont les fonctions d’onde à énergie fixée décrivant le comportement du système. Leurs superpositions forment des "chats de Schrödinger" aux propriétés contre-intuitives. Le spectre des Hamiltoniens quantiques (l’ensemble des valeurs spectrales associées aux états propres) peut présenter une structure discrète (caractéristique des états liés), des continua absolus (caractéristiques d’états de diffusion) ou des continua singuliers (caractéristiques du chaos quantique). Mais le calcul du spectre et des fonctions propres d’un Hamiltonien se trouve être en pratique un problème difficile pour les systèmes concrets. Nous travaillons sur l’élaboration de méthodes mathématiques et numériques pour réaliser ces calculs. Nos travaux concernent trois axes majeurs :
Modèles totalement analytiques : Notre première approche consiste à trouver des modèles de systèmes physiques pour lesquels il est possible de trouver le spectre et/ou les ou des fonctions d’onde de manière complètement analytique, c’est à dire de manière formelle (à l’aide de séries de fonctions, de représentation de groupes, etc). Les modèles en question doivent à la fois correspondre à une situation physique réelle tout en présentant des symétries ou des propriétés particulières permettant le calcul analytique. Nous avons par exemple étudié un modèle de particules soumises à des interactions centrées sur les sommets des solides de Platon (vus comme des structures cristallines élémentaires) et calculé leurs spectres discrets et les propriétés de leurs états liés. Nous avons également considéré le modèle d’une particule dans un plan piégée par une interaction anisotrope localisée le long d’un cercle. Nous calculons les états liés en fonction des différents paramètres du modèle. Nous avons également calculé les fonctions d’ondes électroniques dans des quasicristaux modélisés par un pavage de Penrose ou calculé le spectre d’une particule sur une structure quasipériodique unidimensionnelle (également modèle d’un quasicristal).

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Les solides de Platon (seuls solides réguliers convexes de l’espace à 3 dimensions) : le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre.

Analyse spectrale des Hamiltoniens non-autoadjoints : Les Hamiltoniens non-autoadjoints sont des modèles de systèmes dissipatifs (atome en contact avec un environnement, photoionisation atomique, photodissociation moléculaire). Ils présentent des propriétés spectrales peu conventionnelles (différence entre vecteurs propres gauches et droits, Hamiltonien non-diagonalisable présentant des blocs de Jordan, croisements exceptionnels de valeurs propres avec coalescence des vecteurs propres associés, etc). Nous nous intéressons à la construction de modèles non-autoadjoints pour des processus physiques concrets et aux interprétations physiques des propriétés spectrales spéciales de ces modèles. Nous étudions en particulier des modèles avec frontières absorbantes (potentiels optiques) pour décrire la photodissociation moléculaire à l’aide du comportement des continua et des résonances (valeurs spectrales complexes). Nous nous intéressons aussi à des modèles matriciels d’ionisation ou à la représentation de Liouville (de Hilbert-Schmidt) de l’équation de Lindblad (équation gouvernant les systèmes ouverts sur un réservoir) qui est alors gouvernée par un opérateur non-autoadjoint. Nous avons également travaillé sur un toy model de chaîne de spins non-autoadjointe présentant des états de chimère (c’est à dire dont une partie de la chaîne est ordonnée et l’autre chaotique).

Opérateurs d’onde de Bloch et Hamiltoniens effectifs : Afin de calculer une partie du spectre et les vecteurs propres associés d’une grande matrice (représentant numériquement un Hamiltonien dans un espace de dimension infinie), une méthode consiste à trouver une matrice plus petite de même comportement que la matrice initiale pour la partie du spectre qui nous intéresse. Le principe consiste à construire un Hamiltonien effectif qui représente le comportement du système complet dans un sous-espace de petite dimension, dit espace actif, mais supposé englober l’essentiel des propriétés du système. Le spectre de l’Hamiltonien effectif doit être la partie recherchée du spectre de l’Hamiltonien réel. Mais les vecteurs propres sont forcément tronqués par la petite dimension. Or il est possible de reconstruire les vecteurs propres complets à l’aide d’un opérateur appelé opérateur d’onde de Bloch. Ce qui est intéressant est que l’opérateur de Bloch et l’Hamiltonien effectif vérifient les équations HW=WHeff, [H,W]W =0, W2=0, qui sont une sorte de généralisation non-linéaire des équations aux valeurs propres HP=PE, [H,P]=0, P2=0 (W : opérateur d’onde avec Heff l’Hamiltonien effectif associé, P est un projecteur spectral avec E la valeur propre associée). Nous étudions les propriétés des opérateurs d’onde, et nous élaborons des algorithmes pour intégrer de manière récursive les équations aux valeurs propres non-linéaires associées (en petite dimension) pour résoudre les problèmes aux valeurs propres linéaires (en très grande dimension).

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Représentation schématique de la méthode des opérateurs d’onde de Bloch. X : opérateur d’onde réduit ; H : hamiltonien ; Heff : hamiltonien effectif ; S0 : espace actif.

Contacts : Georges Jolicard ; Eugène de Prunelé ; David Viennot