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CATM, une nouvelle façon de résoudre l’équation de Schrödinger

par Edith Burgey -

Le jeudi 31 mars à 14 h. - Salle de conférence de l’Observatoire de Besançon

Par Arnaud Leclerc, doctorant à l’institut UTINAM, équipe DREAM


Résumé :

La recherche de méthodes originales et efficaces pour résoudre les équations de la physique quantique a donné lieu à la construction d’un nouvel algorithme d’intégration de l’équation de Schrödinger, la "méthode de la trajectoire adiabatique contrainte" (CATM). La trajectoire envisagée est celle suivie par la fonction d’onde dans un espace de Hilbert étendu, c’est-à-dire incluant le temps. Elle est adiabatique car l’on souhaite que la fonction d’onde reste projetée au cours de la dynamique sur un seul des vecteurs propres du Hamiltonien de Floquet, accessible par une diagonalisation partielle relativement rapide. La trajectoire suivie par la fonction d’onde est dans le même temps contrainte, car la seule manière d’atteindre la projection parfaite sur un seul état propre de Floquet consiste à introduire dans le Hamiltonien du système un opérateur absorbant artificiel, du même type que les potentiels absorbants complexes (CAP) habituellement utilisés pour maîtriser les conditions aux frontières lors d’un calcul dans une boîte de simulation, mais possédant ici une dépendance temporelle. Ce potentiel absorbant produit de plus un effet d’éclatement du spectre de Floquet qui permet une reconnaissance facile du vecteur propre de Floquet convenablement connecté à la fonction d’onde.

La méthode est expliquée puis testée sur deux exemples simples. Une première application à de très petits systèmes permet d’abord de comprendre les principes de fonctionnement et de confirmer l’exactitude des résultats obtenus par l’approche CATM. Ces premiers calculs traitent de Hamiltoniens de type RWA (rotating wave approximation), décrivant des systèmes à 2 ou 3 niveaux couplés par des champs laser. Une autre application de dimension un peu plus réaliste concerne l’ion moléculaire H_2^+ (200 niveaux vibrationnels) illuminé par une impulsion laser dans des conditions favorables au piégeage électromagnétique.